三角関数例

$r (x) = \frac{3 x^{2} + 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

$\frac{3 x^{2} + 6}{x^{2} - 2 x - 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.5

最終解は $(x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 1, 3}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{3 - 3 \sqrt{33}}{8}] \cup [\frac{3 + 3 \sqrt{33}}{8}, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq \frac{3 - 3 \sqrt{33}}{8}, y \geq \frac{3 + 3 \sqrt{33}}{8}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - 1, 3}$

値域： $(- \infty, \frac{3 - 3 \sqrt{33}}{8}] \cup [\frac{3 + 3 \sqrt{33}}{8}, \infty), {y | y \leq \frac{3 - 3 \sqrt{33}}{8}, y \geq \frac{3 + 3 \sqrt{33}}{8}}$

ステップ 6

三角関数 例

三角関数例