三角関数例

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

ステップ 1

$y$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$2 y^{2} + 5 y > 3$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$2 y^{2} + 5 y = 3$

ステップ 3

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $5 y$ で因数分解します。

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

ステップ 4.1.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

ステップ 4.3

最大公約数 $2 y - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

ステップ 6

$2 y - 1$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 6.1

$2 y - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 y - 1 = 0$

ステップ 6.2

$y$ について $2 y - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 y = 1$

ステップ 6.2.2

$2 y = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2 y = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{1}{2}$

ステップ 7

$y + 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 7.1

$y + 3$ が $0$ に等しいとします。

$y + 3 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = - 3$

ステップ 8

最終解は $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = \frac{1}{2}, - 3$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $y < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $y < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = - 6$

ステップ 10.1.2

$y$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

ステップ 10.1.3

左辺 $3$ は右辺 $42$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 3 < y < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 3 < y < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0$

ステップ 10.2.2

$y$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

ステップ 10.2.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $y > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $y > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 3$

ステップ 10.3.2

$y$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

ステップ 10.3.3

左辺 $3$ は右辺 $33$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < - 3$ 真

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ 偽

$y > \frac{1}{2}$ 真

$y < - 3$ 真

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ 偽

$y > \frac{1}{2}$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$y < - 3$ または $y > \frac{1}{2}$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例