三角関数例

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を不等式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

不等式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

ステップ 3.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

ステップ 3.5.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$3 x > \frac{3 π}{4}$

ステップ 4

$3 x > \frac{3 π}{4}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 x > \frac{3 π}{4}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$x > \frac{π}{4}$

ステップ 5

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 6.1.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

ステップ 6.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

ステップ 6.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

ステップ 6.2.5.2

$5 π$ と $2 π$ をたし算します。

$3 x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 6.3

$3 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$3 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.3.3.2.2

$4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{12}$

ステップ 7

$\tan (3 x - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 8

$\tan (3 x - \frac{π}{2})$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\tan (3 x - \frac{π}{2})$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

ステップ 10.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

ステップ 10.2.1.3

$π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.2.1.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$3 x = π n + π$

ステップ 10.2.2

$3 x = π n + π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$3 x = π n + π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

ステップ 12.1.3

左辺 $7.01525255$ は右辺 $1$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.44$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $1.44$ で置き換えます。

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

ステップ 12.2.3

左辺 $- 0.4138503$ は右辺 $1$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ 偽

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例