三角関数例

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

ステップ 3

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x < π$

ステップ 4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 (π - \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 5.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

ステップ 5.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.2.2.1.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.2.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$x = π \cdot 3 - π$

ステップ 5.2.2.1.3

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = 3 π - π$

ステップ 5.2.2.1.4

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 6

$\sin (\frac{x}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

ステップ 6.3

$\frac{1}{3}$ は約 $0.\overline{3}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

ステップ 6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 3$

ステップ 6.5

$3$ に $2$ をかけます。

$6 π$

ステップ 7

$\sin (\frac{x}{3})$ 関数の周期が $6 π$ なので、両方向で $6 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $π < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $π < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.1.3

左辺 $0.99540795$ は右辺 $0.8660254$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $2 π < x < 7 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $2 π < x < 7 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 9$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $9$ で置き換えます。

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.2.3

左辺 $0.14112$ は右辺 $0.8660254$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $7 π < x < 8 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $7 π < x < 8 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 24$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $24$ で置き換えます。

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 9.3.3

左辺 $0.98935824$ は右辺 $0.8660254$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$π < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < 7 π$ 真

$7 π < x < 8 π$ 偽

$π < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < 7 π$ 真

$7 π < x < 8 π$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

ステップ 12

三角関数 例

三角関数例