三角関数例

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 1$ を $3 x$ で因数分解します。

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

ステップ 2.1.3

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.1.4

$- 1$ を $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ で因数分解します。

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.1.5

$- 1$ を $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

ステップ 2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$- 3$ を $2$ プラス $- 5$ に書き換える

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

ステップ 2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

ステップ 2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

ステップ 2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.1.3

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

ステップ 2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

ステップ 4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 5

$2 x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 5 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x = 5$

ステップ 5.2.2

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 x = 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 6

最終解は $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{5}{2}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$- 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 5 > 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 39$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.2

区間 $- 1 < x < \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 1 < x < \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 5 > 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $5$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $x > \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$- 2 {(5)}^{2} + 3 (5) + 5 > 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 30$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ 真

$x > \frac{5}{2}$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ 真

$x > \frac{5}{2}$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, \frac{5}{2})$

ステップ 11

三角関数 例

三角関数例