三角関数例

$\sin (\frac{π}{12}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sin (\frac{π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.1.1

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.2

角の差の公式を当てはめます。

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.1.2

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.7.1.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.1.7.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.4

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5

$\cos (\frac{π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.5.1

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.2

角の差の公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.5.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.7.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.5.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.5.7.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \sin (\frac{2}{3})$

ステップ 1.6

$\sin (\frac{2}{3})$ の値を求めます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$

ステップ 1.7

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 0.6183698$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ と $0.6183698$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 0.6183698}{4}$

ステップ 1.7.2

$\sqrt{6} + \sqrt{2}$ に $0.6183698$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{2.38919745}{4}$

ステップ 1.8

$2.38919745$ を $4$ で割ります。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936$

ステップ 2

$0.59729936$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + 0.59729936 \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

$0.59729936$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{0.59729936 \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.2

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 0.59729936 \cdot 8}{8}$

ステップ 4.3

$0.59729936$ に $8$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $- \sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{6}) + \sqrt{2} + 4.7783949}{8}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $\sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $- (\sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 4.7783949}{8}$

ステップ 5.4

$4.7783949$ を $- 1 (- 4.7783949)$ に書き換えます。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)}{8}$

ステップ 5.5

$- 1$ を $- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - 1 (- 4.7783949)$ で因数分解します。

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

ステップ 5.6

式を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$- (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ を $- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949)}{8}$

ステップ 5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 4.7783949}{8}$

10進法形式：

$0.46788984 \dots$

三角関数 例

三角関数例