三角関数例

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$

ステップ 1

有理根検定を用いて $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

ステップ 1.3

$- 0.\overline{3}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.\overline{3}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 0.\overline{3}$ を多項式に代入します。

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.2

$- 0.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.3

$12$ に $- 0.\overline{037}$ をかけます。

$- 0.\overline{4} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.4

$- 0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$- 0.\overline{4} + 16 \cdot 0.\overline{1} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.5

$16$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$- 0.\overline{4} + 1.\overline{7} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.6

$- 0.\overline{4}$ と $1.\overline{7}$ をたし算します。

$1.\overline{3} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

ステップ 1.3.7

$- 5$ に $- 0.\overline{3}$ をかけます。

$1.\overline{3} + 1.\overline{6} - 3$

ステップ 1.3.8

$1.\overline{3}$ と $1.\overline{6}$ をたし算します。

$3 - 3$

ステップ 1.3.9

$3$ から $3$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 0.\overline{3}$ は既知の根なので、多項式を $3 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3}{3 x + 1}$

ステップ 1.5

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ を $3 x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$5 x$

$3$

ステップ 1.5.2

被除数 $12 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $12 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 9 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 9 x - 3$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$4 x^{2} + 4 x - 3$

ステップ 1.6

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 3)$

ステップ 2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 3)$

ステップ 2.1.1.2

$4$ を $- 2$ プラス $6$ に書き換える

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x + 3))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 3)$

三角関数 例

三角関数例