三角関数例

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$

ステップ 1

有理根検定を用いて $12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.58\overline{3}, \pm 3.5, \pm 1.1\overline{6}, \pm 2.\overline{3}, \pm 1.75$

ステップ 1.3

$0.\overline{3}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{3}$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$0.\overline{3}$ を多項式に代入します。

$12 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.2

$0.\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$12 \cdot 0.\overline{037} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.3

$12$ に $0.\overline{037}$ をかけます。

$0.\overline{4} - 91 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.4

$0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$0.\overline{4} - 91 \cdot 0.\overline{1} + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.5

$- 91$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$0.\overline{4} - 10.11111111 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.6

$0.\overline{4}$ から $10.11111111$ を引きます。

$- 9.66666666 + 50 \cdot 0.\overline{3} - 7$

ステップ 1.3.7

$50$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$- 9.66666666 + 16.\overline{6} - 7$

ステップ 1.3.8

$- 9.66666666$ と $16.\overline{6}$ をたし算します。

$7 - 7$

ステップ 1.3.9

$7$ から $7$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$0.\overline{3}$ は既知の根なので、多項式を $3 x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7}{3 x - 1}$

ステップ 1.5

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ を $3 x - 1$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$91 x^{2}$

$50 x$

$7$

ステップ 1.5.2

被除数 $12 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$4 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			+	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x^{3} - 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- 87 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					-	$87 x^{2}$	+	$29 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 87 x^{2} + 29 x$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

ステップ 1.5.12

被除数 $21 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							+	$21 x$	-	$7$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $21 x - 7$ の符号をすべて変更します。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$4 x^{2}$	-	$29 x$	+	$7$
$3 x$	-	$1$		$12 x^{3}$	-	$91 x^{2}$	+	$50 x$	-	$7$
			-	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$87 x^{2}$	+	$50 x$
					+	$87 x^{2}$	-	$29 x$
							+	$21 x$	-	$7$
							-	$21 x$	+	$7$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$4 x^{2} - 29 x + 7$

ステップ 1.6

$12 x^{3} - 91 x^{2} + 50 x - 7$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 x + 7)$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ で和が $b = - 29$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1.1

$- 29$ を $- 29 x$ で因数分解します。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 29 (x) + 7)$

ステップ 2.1.1.2

$- 29$ を $- 1$ プラス $- 28$ に書き換える

$(3 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 - 28) x + 7)$

ステップ 2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(3 x - 1) (4 x^{2} - 1 x - 28 x + 7)$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) - 28 x + 7)$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(3 x - 1) (x (4 x - 1) - 7 (4 x - 1))$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $4 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 1) ((4 x - 1) (x - 7))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x - 1) (4 x - 1) (x - 7)$

三角関数 例

三角関数例