三角関数例

$\sec (105)$

ステップ 1

基本恒等式を利用して $\sec (105)$ を同値である式 $\frac{1}{\cos (105)}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\cos (105)}$

ステップ 2

分母の和の公式または差の公式を利用してます。

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ステップ 2.1

まず、6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。この場合、 $105$ は $45 + 60$ に分割することができます。

$\frac{1}{\cos (45 + 60)}$

ステップ 2.2

余弦の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ ということが述べられています。

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.3

括弧を削除します。

$\frac{1}{\cos (60) \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\cos (60)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (45) - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (60) \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4.4

$\sin (60)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (45)}$

ステップ 2.4.5

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.4.6

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.6.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

ステップ 3.3

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

ステップ 3.4

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

ステップ 3.5

$\frac{4}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ に $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ をかけます。

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(\sqrt{2} - \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}$

ステップ 3.6

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{12} - \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

ステップ 3.7

簡約します。

$\frac{4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{- 4}$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

ステップ 3.8.2

$- 1 \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ を $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ に書き換えます。

$- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$

ステップ 3.9

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2} - \sqrt{6}$

10進法形式：

$- 3.86370330 \dots$

三角関数 例

三角関数例