三角関数例

$\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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ステップ 1.1

角 $\frac{π}{3}$ は三角関数の6個の値が既知である角です。このため、 $0$ を加え、値を同じにします。

$\frac{(\tan (\frac{π}{3} + 0)) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.2

正切の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{(\frac{\tan (\frac{π}{3}) + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{(\frac{\sqrt{3} + 0}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan (0)}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.4.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \cdot 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.4.3

$- \sqrt{3} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 1.4.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0 \sqrt{3}}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.4.3.2

$0$ に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1 + 0}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.4.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}}{1}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.5

$\sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{(\sqrt{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.6

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.7

角 $\frac{π}{4}$ は三角関数の6個の値が既知である角です。このため、 $0$ を加え、値を同じにします。

$\frac{\sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4} + 0)}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.8

正切の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{\frac{\sqrt{3} (\tan (\frac{π}{4}) + \tan (0))}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.9

分子を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + \tan (0)}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.9.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1 + 0}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.9.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.10

分母を簡約します。

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ステップ 1.10.1

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot (1 \tan (0))}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \tan (0)}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.10.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 - 1 \cdot 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.10.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1 + 0}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.10.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.11

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{3} + \frac{1}{1}}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 1.11.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

ステップ 2.1.2

$\tan (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}$

ステップ 2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

ステップ 2.2

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ に $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

ステップ 2.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ に $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

ステップ 2.3.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.4.2

$1 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.4.3

$1 + \sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

ステップ 2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

ステップ 2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

ステップ 2.5

${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.6

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.2

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.3

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.6

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

ステップ 2.7.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

ステップ 2.7.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.7.3

$\sqrt{3}$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.8

$4 + 2 \sqrt{3}$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 2.8.2

$2$ を $2 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.8.3

$2$ を $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

ステップ 2.8.4

$\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

ステップ 2.9

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ を $- (2 + \sqrt{3})$ に書き換えます。

$- (2 + \sqrt{3})$

ステップ 2.10

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

ステップ 2.11

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 - \sqrt{3}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 2 - \sqrt{3}$

10進法形式：

$- 3.73205080 \dots$

三角関数 例

三角関数例