三角関数例

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 3

$\cos (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 4

まとめる。

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 5

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 6

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 7

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 8.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 8.3

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\cos (x)$ を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1.1

$\cos (x)$ を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

ステップ 8.3.1.2

$\cos (x)$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

ステップ 8.3.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

ステップ 8.3.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ と $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

ステップ 8.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 8.4

$\cos (x)$ と $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

ステップ 8.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

ステップ 8.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

ステップ 8.7

$1 - \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.1

$1 - \sin (x)$ を $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

ステップ 8.7.2

$1 - \sin (x)$ を $\cos (x) (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

ステップ 8.7.4

式を書き換えます。

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.8

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.8.2

式を書き換えます。

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 8.9

分配則を当てはめます。

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 8.10

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 8.11

$\sin (x)$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ を $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

ステップ 11

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例