三角関数例

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

ステップ 2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.1.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 3.1.3

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sin (x) + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 3.3

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{1}{\sin (x) + 1}$ に $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ に $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.4.3

$(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.2

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.6.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.4

$\sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.6.5.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.5.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

ステップ 3.6.5.4

多項式を書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.6.5.5

$a = 1$ と $b = \sin (x)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

ステップ 3.7

${(1 + \sin (x))}^{2}$ と $1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

ステップ 4

$1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ は公式です

三角関数 例

三角関数例