三角関数例

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

ステップ 2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- \cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.2

$- \cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

$- \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.2

因数分解した形で $1 - {\cos (x)}^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.1.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

ステップ 3.1.4.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1 + \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 5.1.3

$- \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

ステップ 5.1.4

$\cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.1.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

ステップ 5.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

ステップ 5.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 5.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

ステップ 5.2

$\cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

ステップ 5.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ を $\cot (x) \csc (x)$ に書き換えます。

$\cot (x) \csc (x)$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例