三角関数例

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 2.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 6.2

$1 + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例