三角関数例

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

ステップ 2

分数をたし算します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{\cos (x) + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{\cos (x) - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} \cdot \frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\cos (x) + 1}$ に $\frac{\cos (x) - 1}{\cos (x) - 1}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{1}{\cos (x) - 1} \cdot \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\cos (x) - 1}$ に $\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) + 1}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)}$

ステップ 2.3.3

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) - 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)} + \frac{\cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) - 1 + \cos (x) + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) - 1 + 1}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

ステップ 3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) + 0}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

ステップ 3.3

$2 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x)}{(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1)}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1)}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) - 1}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\cos^{2} (x)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 + \cos^{2} (x)}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}$

ステップ 5.3

$- 1$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \cos (x)}{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}$

ステップ 5.5

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ に書き換えます。

$\frac{2 \cos (x)}{- (1 - \cos^{2} (x))}$

ステップ 5.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{2 \cos (x)}{- \sin^{2} (x)}$

ステップ 6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

まとめる。

$\frac{- (2 \cos (x))}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{1 \sin^{2} (x)}$

ステップ 10

${\sin (x)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 12

ここで、方程式の右辺を考えます。

$- 2 \csc (x) \cot (x)$

ステップ 13

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 13.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)$

ステップ 13.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$- 2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- 2$ と $\frac{1}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 14.3

$- \frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 14.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{2}{\sin (x)}$ をかけます。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 14.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

ステップ 14.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

ステップ 14.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 14.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos (x) \cdot 2}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 14.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 15

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{\cos (x) + 1} + \frac{1}{\cos (x) - 1} = - 2 \csc (x) \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例