三角関数例

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

ステップ 2.2

$- \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ に $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ に $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (1 + \sin (a)) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.2

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.3

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.4

$\sin (a) \sin (a)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.4.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1 + 1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.2.2

$\sin (a)$ と $\sin (a)$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.5

$- - \sin (a)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.5.2

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.2

$- 1 (- \sin (a))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.2.2

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.3

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.4

$\sin (a) (- \sin (a))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1.4.1

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.4.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1})}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.1.7.2

$\sin (a)$ と $\sin (a)$ をたし算します。

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + 0 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.3

$2 \sin (a)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{\sin (a)}^{2} + 2 \sin (a) + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.4

${\sin (a)}^{2}$ から ${\sin (a)}^{2}$ を引きます。

$\frac{2 \sin (a) + 2 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.5

$2 \sin (a)$ と $2 \sin (a)$ をたし算します。

$\frac{4 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 3.6

$4 \sin (a)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (a)}{1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{4 \sin (a)}{1 - \sin^{2} (a)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$

ステップ 6

$\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$ を $4 \tan (a) \sec (a)$ に書き換えます。

$4 \tan (a) \sec (a)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例