三角関数例

\frac{1 - cos (x)}{1 + cos (x)} = {(cot (x) - csc (x))}^{2}

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

ステップ 1

右辺から始めます。

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

商の恒等式を利用して

$\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

ステップ 2.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ を

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ に書き換えます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.2

$\cos (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.3

$\cos (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.6

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.7

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.8

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.1.9

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に

$\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.2

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.3

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.2.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に

$\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.2

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.3

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

ステップ 2.3.3.1.4

$- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{\sin (x)}$ に

$\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.4

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

ステップ 2.3.3.1.4.5

$\sin (x)$ を

$1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.6

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.3.3.1.4.7

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

$- \cos (x)$ から

$\cos (x)$ を引きます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 2.3.6

完全平方式を利用して因数分解します。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ を

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ に書き換えます。

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.4.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 2.4.3

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = \cos (x)$ です。

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2

${(\cos (x) - 1)}^{2}$ と

$1 - \cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例