三角関数例

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\csc (x) + 1)$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ を展開します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1.3.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.3.2

$\sin (x)$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

ステップ 2.4.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.4.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ から $\frac{1}{\cos (x)}$ を引きます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3

分数を引き算します。

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ステップ 3.1

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 4

$- \sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 6

${\cos (x)}^{2}$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 7

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に書き換えます。

$\cot (x)$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例