三角関数例

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 2

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 4.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 7.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 8.3

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 9

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ を $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

ステップ 10

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例