三角関数例

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)}$

ステップ 2.1.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x))}{\csc (x)}$

ステップ 2.1.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\csc (x)}$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{\frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ を展開します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.4.3

分配則を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.5

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ について因数を並べ替えます。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.5.2

$- \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + 0 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ と $0$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6.1.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)})) \sin (x)$

ステップ 2.6.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.6.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.7

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) \sin (x)$

ステップ 2.6.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \sin (x)$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 2.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 2.9

$\cos^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

ステップ 2.9.2

式を書き換えます。

$1 \sin (x)$

ステップ 2.10

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (x)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}{\csc (x)} = \sin (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例