三角関数例

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \cot (x)) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.2.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ を展開します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.4

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.4.2

$- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 0 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.4.3

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.1.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.3.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.6

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.7

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.5.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.8

$\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.8.2

式を書き換えます。

$1 + \tan^{2} (x)$

ステップ 2.9

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$1 + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.10

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$1 + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x)) + \tan^{2} (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例