三角関数例

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{2}$ .

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ステップ 3.1.1

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ に $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

ステップ 3.3

${\cos (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

${\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ を ${(\cos (x) \cos (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

${\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ を ${(\cos (x) \sin (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} - {(\cos (x) \sin (x))}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x) \cos (x)$ であり、 $b = \cos (x) \sin (x)$ です。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.4.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{({\cos (x)}^{1} \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{({\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{({\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2.2

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3

指数をまとめます。

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ステップ 3.4.4.3.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1 + 1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{2} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.5

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.5.1

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.5.2

$\cos (x)$ を $- \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.5.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6

指数をまとめます。

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ステップ 3.4.6.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

${\cos (x)}^{2} \cdot 1$ を ${(\cos (x) \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\cos (x) \cdot 1)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x) \cdot 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

ステップ 3.5.3

簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

ステップ 3.5.3.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 3.6

$\cos (x) + \sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)}$

ステップ 3.7

$\cos (x) - \sin (x)$ の共通因数を約分します。

$\cos^{2} (x)$

ステップ 4

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例