三角関数例

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

ステップ 2.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

ステップ 3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ を ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

ステップ 3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 3.3.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

ステップ 3.3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

ステップ 3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

ステップ 3.3.7

$- 1$ と $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

ステップ 3.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 3.4

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

ステップ 3.5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

ステップ 3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

ステップ 3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

ステップ 3.6

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

ステップ 3.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

ステップ 3.8

${\sin (x)}^{2}$ と $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

ステップ 3.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 4

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ を $\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例