三角関数例

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2.3

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)}$

ステップ 2.4

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.5

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.6

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.7

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2.8

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{4}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ に $\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ をかけます。

$\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${\cos (x)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.2

${\cos (x)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.3

${\cos (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.4

${\cos (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 3.3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1^{4}$ を ${(1^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

${\sin (x)}^{4}$ を ${({\sin (x)}^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {({\sin (x)}^{2})}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1^{2}$ であり、 $b = {\sin (x)}^{2}$ です。

$\frac{(1^{2} + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})}$

ステップ 3.5.1.3

${\cos (x)}^{2}$ を ${\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2} + {\sin (x)}^{2})}$

ステップ 3.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1 + {\sin (x)}^{2})}$

ステップ 3.6

$1 + {\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \tan^{2} (x)$

ステップ 5.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 5.4

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8

分子を簡約します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例