三角関数例

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x)$

ステップ 2

$\cot (- x)$ が奇関数なので、 $\cot (- x)$ を $- \cot (x)$ に書き換えます。

$- \cot (x) \cos (- x) + \sin (- x)$

ステップ 3

$\cos (- x)$ が偶関数なので、 $\cos (- x)$ を $\cos (x)$ に書き換えます。

$- \cot (x) \cos (x) + \sin (- x)$

ステップ 4

$\sin (- x)$ が奇関数なので、 $\sin (- x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$- \cot (x) \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 5.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

$\cos (x)$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 5.2.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 5.2.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 5.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 5.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$- \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 7.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x)$

ステップ 7.2

$- \sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} - \sin (x) \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 7.3

$- \sin (x)$ と $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$- \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$- 1$ を $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) - \sin (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.5.1.1

$- 1$ を $- (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.1.2

$- 1$ を $- \sin (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.1.3

$- 1$ を $- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) - (\sin (x) \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 7.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- (1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- (1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 7.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.2

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.3

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.4

$\sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x)) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}) + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- (1 - \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.2

$- \sin (x)$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$\frac{- (1 + 0 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.4

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.5.4.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} \sin (x))}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{1 + 1})}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- (1 - {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2})}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.5

$- {\sin (x)}^{2}$ と ${\sin (x)}^{2}$ をたし算します。

$\frac{- (1 + 0)}{\sin (x)}$

ステップ 7.5.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)}$

ステップ 7.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 7.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 8

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 9

まとめる。

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \sin (x)}$

ステップ 10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{1 \sin (x)}$

ステップ 11

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1}{\sin (x)}$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 13

ここで、方程式の右辺を考えます。

$- \csc (x)$

ステップ 14

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$- \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 15

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cot (- x) \cos (- x) + \sin (- x) = - \csc (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例