三角関数例

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

ステップ 2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

ステップ 3

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2

$\cos (x)$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.7

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.8

$\cos (x)$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

ステップ 4.1.9

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{7 π}{4})$

ステップ 4.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.1.11

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.1.12

$- \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 1 \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.12.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.12.3

$\sin (x)$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ と $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

ステップ 4.2.2

$- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ と $\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 0 + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2.3

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sqrt{2} + \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.4

$\cos (x) \sqrt{2}$ と $\cos (x) \sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5.2

$\cos (x) \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) \sqrt{2}$

ステップ 5

$\cos (x) \sqrt{2}$ の因数を並べ替えます。

$\sqrt{2} \cos (x)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例