三角関数例

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

ステップ 2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x)$

ステップ 3

角の和の公式を当てはめます。

$\cos (\frac{7 π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{4}) \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.3

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \sin (\frac{7 π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \sin (\frac{π}{4}) \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.6

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.6.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x) + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.7

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \sin (\frac{π}{4}) \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.9

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.10

$\cos (x)$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.11

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (x)$

ステップ 4.1.12

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

ステップ 4.1.13

$\sin (x)$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3

$\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \cos (x) \sqrt{2} - \sin (x) \sqrt{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1

$\sqrt{2} \cos (x)$ と $- \cos (x) \sqrt{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{2} \cos (x) + \sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{2} \cos (x)$ から $\sqrt{2} \cos (x)$ を引きます。

$\frac{0 + \sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.3

$0$ と $\sqrt{2} \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sin (x) \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.4

$\sqrt{2} \sin (x)$ と $- \sin (x) \sqrt{2}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{2} \sin (x) - \sqrt{2} \sin (x)}{2}$

ステップ 4.3.5

$\sqrt{2} \sin (x)$ から $\sqrt{2} \sin (x)$ を引きます。

$\frac{0}{2}$

ステップ 4.4

$0$ を $2$ で割ります。

$0$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (\frac{7 π}{4} + x) + \sin (\frac{5 π}{4} + x) = 0$ は公式です

三角関数 例

三角関数例