三角関数例

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

ステップ 2

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

ステップ 3

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\cos (- b)$ が偶関数なので、 $\cos (- b)$ を $\cos (b)$ に書き換えます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

ステップ 4.1.2

$\sin (- b)$ が奇関数なので、 $\sin (- b)$ を $- \sin (b)$ に書き換えます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

ステップ 4.1.3

$- \sin (a) (- \sin (b))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.1.3.2

$\sin (a)$ に $1$ をかけます。

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ を展開します。

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ステップ 4.2.1

分配則を当てはめます。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.2.3

分配則を当てはめます。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.3

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1

$\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ と $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ について因数を並べ替えます。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.3.2

$\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ から $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ を引きます。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.3.3

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ と $0$ をたし算します。

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.1

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.2

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.5

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.6

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.1.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

ステップ 4.4.2

$- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ を掛けます。

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ステップ 4.4.2.1

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

ステップ 4.4.2.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

ステップ 4.4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

ステップ 4.4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

ステップ 4.4.2.5

$\sin (b)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

ステップ 4.4.2.6

$\sin (b)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

ステップ 4.4.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

ステップ 4.4.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

ステップ 7

${\cos (b)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 8.1

$- \sin^{2} (a)$ を $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

ステップ 8.2

$- \sin^{2} (a)$ を $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ で因数分解します。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

ステップ 8.3

$- \sin^{2} (a)$ を $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ で因数分解します。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

ステップ 8.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

ステップ 9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

ステップ 10

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ は公式です

三角関数 例

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