三角関数例

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

共通因数を約分します。

$(\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2.3.2

式を書き換えます。

$(\sin (x) + \cos (x) \cdot 2) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2.4

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$(\sin (x) + 2 \cdot \cos (x)) (2 \tan (x) + 1)$

ステップ 2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

ステップ 2.5.2

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

ステップ 2.6

分配法則（FOIL法）を使って $(\sin (x) + 2 \cos (x)) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\sin (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1) + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 1)$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$\sin (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1.1

$\sin (x)$ と $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.1.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.1.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.1

$\cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + \cos (x) \cdot 2 \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 2 (2 \sin (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.7.1.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) + 4 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.7.2

$\sin (x)$ と $4 \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 (1^{2} - {\cos (x)}^{2})}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + 5 \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 4.2

$5 \sin (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + 2 \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (1 - \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) (1 - \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 + 2 (- \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.4

$2 \cos (x) (- \cos (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \cos (x) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.4.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - 2 \cos (x) + 2 \cos (x) - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.2

$- 2 \cos (x)$ と $2 \cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 + 0 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.4.4.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x)$

ステップ 4.5

$2 \cos (x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - 2 {\cos (x)}^{2} + 5 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 5

ここで、方程式の右辺を考えます。

$2 \sec (x) + 5 \sin (x)$

ステップ 6

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$2 \frac{1}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

ステップ 7

$2$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\cos (x)} + 5 \sin (x)$

ステップ 8

$5 \sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1}$

ステップ 9

分数をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{5 \sin (x)}{1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.2

$\frac{5 \sin (x)}{1}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{2}{\cos (x)} + \frac{5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + 5 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos (x) (\tan (x) + 2) (2 \tan (x) + 1) = 2 \sec (x) + 5 \sin (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例