三角関数例

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sec^{4} (x)$ を ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x)$

ステップ 2.2

$\tan^{4} (x)$ を ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \sec^{2} (x)$ であり、 $b = \tan^{2} (x)$ です。

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.4.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.4.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.4.5

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$(\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}) \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

ステップ 4

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 4.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

ステップ 4.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4.4

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例