三角関数例

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

ステップ 2.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

ステップ 2.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

ステップ 2.6.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

ステップ 2.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

ステップ 2.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\csc^{2} (x)$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ は公式です

三角関数 例

三角関数例