三角関数例

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

ステップ 2.2

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

各項を簡約します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

分数を引き算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ に $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ に $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 4.3.3

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

ステップ 6

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ を $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$ に書き換えます。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例