三角関数例

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 2

$\cot^{2} (x)$ を $\cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$\cot^{2} (x)$ を $\cot^{4} (x)$ で因数分解します。

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x)$

ステップ 2.2

$1$ を掛けます。

$\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$

ステップ 2.3

$\cot^{2} (x)$ を $\cot^{2} (x) \cot^{2} (x) + \cot^{2} (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\cot^{2} (x) (\cot^{2} (x) + 1)$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$\cot^{2} (x) (1 + \cot^{2} (x))$

ステップ 3.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$(\csc^{2} (x) - 1) \csc^{2} (x)$

ステップ 5

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 5.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) \csc^{2} (x)$

ステップ 5.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 5.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 5.4

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1) \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.4

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.5

$- 1 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ を $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.7

指数を足して ${\sin (x)}^{2}$ に ${\sin (x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2 + 2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.7.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.8

$- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\sin (x)}^{4}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.9.1

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ に $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

ステップ 6.9.2

指数を足して ${\sin (x)}^{2}$ に ${\sin (x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.9.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2 + 2}}$

ステップ 6.9.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{\sin (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

ステップ 6.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{4}}$

ステップ 6.11

分子を簡約します。

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$

ステップ 7

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin^{4} (x)}$ を $\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x)$

ステップ 8

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\csc^{4} (x) - \csc^{2} (x) = \cot^{4} (x) + \cot^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例