三角関数例

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

ステップ 2

分数を引き算します。

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ステップ 2.1

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ を掛けます。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

ステップ 2.2

$- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ を掛けます。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ に $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ に $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ をかけます。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

ステップ 2.3.3

$(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.3

$\csc (x) (- \csc (x))$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.3.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.6

$- \csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

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ステップ 3.1.6.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.6.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.1.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.2

$\csc (x)$ から $\csc (x)$ を引きます。

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.3

$- {\csc (x)}^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 3.4

$- {\csc (x)}^{2}$ から ${\csc (x)}^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

$1$ と $- \csc^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

ステップ 5.2

$- 1$ を $- \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

ステップ 5.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

ステップ 5.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 6

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 6.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 6.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

ステップ 6.3

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

ステップ 6.4

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 7.3

$- 2$ と $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 7.4

${\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 7.4.2

${\sin (x)}^{2}$ を $- {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 7.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 7.4.4

式を書き換えます。

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 7.5

$- 2$ と $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 7.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 8

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ を $2 \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$2 \sec^{2} (x)$

ステップ 9

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例