三角関数例

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

ステップ 2

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ に $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ をかけます。

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 4.2

$\cot (A)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 4.3

$\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

$- 1$ を $- \csc^{2} (A)$ で因数分解します。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

ステップ 6.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.3

$- 1$ を $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

ステップ 6.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

商の恒等式を利用して $\cot (A)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

ステップ 7.2

$\csc (A)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

ステップ 7.3

商の恒等式を利用して $\cot (A)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

ステップ 7.4

商の恒等式を利用して $\cot (A)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

ステップ 7.5

積の法則を $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ に当てはめます。

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.2

$- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{\sin (A)}$ に $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ をかけます。

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.2.2

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.2.3

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.3

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ を掛けます。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\sin (A)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.4.1

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ に $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ をかけます。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.4.2

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.4.3

$\sin (A)$ を $1$ 乗します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.6

$\cos (A)$ を $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ で因数分解します。

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ステップ 8.6.1

$\cos (A)$ を $- \cos (A)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.6.2

$\cos (A)$ を $\cos (A) \sin (A)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.6.3

$\cos (A)$ を $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

ステップ 8.7

$\cos (A)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.1

$- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

ステップ 8.7.2

$\cos (A)$ を ${\cos (A)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

ステップ 8.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

ステップ 8.7.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

ステップ 8.8

${\sin (A)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

${\sin (A)}^{2}$ を $- {\sin (A)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

ステップ 8.10

分配則を当てはめます。

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

ステップ 8.11

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ を掛けます。

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ステップ 8.11.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

ステップ 8.11.2

$\frac{1}{\cos (A)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

ステップ 8.12

$\sin (A)$ と $\frac{1}{\cos (A)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

ステップ 9

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec (A) - \tan (A)$

ステップ 10

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 10.1

$\sec (A)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

ステップ 10.2

商の恒等式を利用して $\tan (A)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

ステップ 11

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例