三角関数例

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$

ステップ 2

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)}$ に $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ をかけます。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\cot (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cot (x) \cdot 1 + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4.2

$\cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 4.3

$\cot (x) + \cot (x) (- \csc (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

$1$ と $- \csc^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

ステップ 6.2

$- 1$ を $- \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

ステップ 6.3

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

ステップ 6.4

$- 1$ を $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

ステップ 6.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cot (x) - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 7

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 7.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cot (x) \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 7.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x)}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 7.3

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \cot^{2} (x)}$

ステップ 7.4

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

ステップ 7.5

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.2

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\sin (x)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.4.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$(\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}}) (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (x) \sin (x) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.6

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x) - \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 8.6.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.6.2

$\cos (x)$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.6.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) (\sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

ステップ 8.7

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 8.7.2

$\cos (x)$ を ${\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 8.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 8.7.4

式を書き換えます。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{\cos (x)}$

ステップ 8.8

${\sin (x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

${\sin (x)}^{2}$ を $- {\sin (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) - 1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{\cos (x)}$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$(\sin (x) - 1) \frac{- 1}{\cos (x)}$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$(\sin (x) - 1) (- \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.10

分配則を当てはめます。

$\sin (x) (- \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.11

$\sin (x)$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.12

$- 1 (- \frac{1}{\cos (x)})$ を掛けます。

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x)}$

ステップ 10

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 11

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

ステップ 12

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 12.1

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\cot (x)}$

ステップ 12.2

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} - 1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$(\frac{1}{\sin (x)} - 1) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.3

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13.4

$- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 15

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\cot (x)}{1 + \csc (x)} = \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例