三角関数例

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

ステップ 2.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

ステップ 3.2

$\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を掛けます。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

ステップ 3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${\cos (x)}^{4}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ に $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

ステップ 3.3.2

指数を足して ${\cos (x)}^{2}$ に ${\cos (x)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

ステップ 3.3.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

ステップ 3.5

${\sin (x)}^{2}$ を ${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.5.1

${\sin (x)}^{2}$ を ${\sin (x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

ステップ 3.5.2

${\sin (x)}^{2}$ を $2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

ステップ 3.5.3

${\sin (x)}^{2}$ を ${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

ステップ 3.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

ステップ 3.8

分子を簡約します。

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

ステップ 5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

ステップ 6

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ を $\sec^{4} (x)$ に書き換えます。

$\sec^{4} (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例