三角関数例

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (y)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \tan (x) \tan (y)}$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (y)}$

ステップ 2.4

商の恒等式を利用して $\tan (y)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \cos (y)$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$ に $\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{\cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cos (y)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (\cos (y)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.3.2

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) \cos (y) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (y) \cos (x) \frac{- \sin (y)}{\cos (y)}}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\cos (x) \cos (y)$ を $\cos (x) \cos (y) \cdot 1 + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$\cos (x) \cos (y)$ を $\cos (x) \cos (y) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}}$

ステップ 3.4.1.2

$\cos (x) \cos (y)$ を $\cos (x) \cos (y) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ で因数分解します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.4.1.3

$\cos (x) \cos (y)$ を $\cos (x) \cos (y) (1) + \cos (x) \cos (y) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ で因数分解します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ をかけます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (1 + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

ステップ 3.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) (\frac{\cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} + \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)})}$

ステップ 3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) \frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

ステップ 3.4.5

指数をまとめます。

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ステップ 3.4.5.1

$\frac{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)} \cos (y)}$

ステップ 3.4.5.2

$\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$ と $\cos (y)$ をまとめます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

ステップ 3.4.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$ を約分します。

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ステップ 3.4.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}}$

ステップ 3.4.6.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

ステップ 3.4.7

$\cos (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\frac{(\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) \cos (y)}{\cos (y)}}$

ステップ 3.4.7.2

$\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 3.5

$\frac{\cos (y) \sin (x) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (y) \sin (x) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ を $- \cos (x) \sin (y)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 4.2

$- 1$ を $\cos (y) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 4.4

$- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ を $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 5

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ を $\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ に書き換えます。

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{1 + \tan (x) \tan (y)} = \frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例