三角関数例

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$1 - \tan^{2} (x)$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (x)$ です。

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ は公式です

三角関数 例