三角関数例

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$1 + \cot^{2} (- x)$

ステップ 2

$\cot (- x)$ が奇関数なので、 $\cot (- x)$ を $- \cot (x)$ に書き換えます。

$1 + {(- \cot (x))}^{2}$

ステップ 3

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 3.1

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$1 + {(- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

積の法則を $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 1 \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 4

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 5.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$\csc^{2} (x)$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 + \cot^{2} (- x) = \csc^{2} (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例