三角関数例

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

商の恒等式を利用して $\tan (a)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (b)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\cot (b) - \cot (a)}$

ステップ 2.3

商の恒等式を利用して $\cot (b)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \cot (a)}$

ステップ 2.4

商の恒等式を利用して $\cot (a)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ に $\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}$ をかけます。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\cos (a)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$\cos (a)$ を $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (a) (\cos (b) \sin (b) \sin (a)) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) \sin (a) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.2

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.3

$\sin (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1}) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{1 + 1} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.6

$\cos (b)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$- \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.6.2

$\cos (b)$ を $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (b) (\cos (a) \sin (b) \sin (a)) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.6.3

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.6.4

式を書き換えます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (b) \sin (a) (- \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.7

$\sin (b)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.8

$\sin (b)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} {\sin (b)}^{1}))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{1 + 1})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.11

$\sin (b)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.11.1

$\sin (b)$ を $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\sin (b) (\cos (a) \cos (b) \sin (a)) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.11.2

共通因数を約分します。

ステップ 3.3.11.3

式を書き換えます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.12

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} \cos (b)) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.13

$\cos (b)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} {\cos (b)}^{1}) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.14

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{1 + 1} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.15

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

ステップ 3.3.16

$\sin (a)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.16.1

$- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 3.3.16.2

$\sin (a)$ を $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 3.3.16.3

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

ステップ 3.3.16.4

式を書き換えます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) (- \cos (a))}$

ステップ 3.3.17

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} \cos (a)))}$

ステップ 3.3.18

$\cos (a)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} {\cos (a)}^{1}))}$

ステップ 3.3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{1 + 1})}$

ステップ 3.3.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

ステップ 3.4

$\sin (b) \sin (a)$ を $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$\sin (b) \sin (a)$ を $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

ステップ 3.4.2

$\sin (b) \sin (a)$ を $\cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

ステップ 3.4.3

$\sin (b) \sin (a)$ を $\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

ステップ 3.5

$\cos (a) \cos (b)$ を $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$\cos (a) \cos (b)$ を $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

ステップ 3.5.2

$\cos (a) \cos (b)$ を $\cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))}$

ステップ 3.5.3

$\cos (a) \cos (b)$ を $\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))$ で因数分解します。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) + \sin (b) (- \cos (a)))}$

ステップ 3.6

項を並べ替えます。

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a))}$

ステップ 3.7

$\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b)$ と $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a)$ の共通因数を約分します。

$\frac{\sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b)}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$

ステップ 5

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$ を $\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ に書き換えます。

$\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例