三角関数例

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

ステップ 1.2

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

ステップ 2.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 3

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 5

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

ステップ 6

$\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

ステップ 7

$\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

ステップ 8

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

ステップ 10

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 11

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

ステップ 12

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ を掛けます。

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ステップ 12.1

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

ステップ 12.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

ステップ 12.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

ステップ 12.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

ステップ 13

各項を簡約します。

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ステップ 13.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 13.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 13.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 13.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 13.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 13.1.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

ステップ 13.1.5

指数を求めます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 13.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

ステップ 14

項を簡約します。

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ステップ 14.1

$2 \sqrt{2} - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

ステップ 14.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

ステップ 14.1.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

ステップ 14.1.4

共通因数を約分します。

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ステップ 14.1.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

ステップ 14.1.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

ステップ 14.1.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

ステップ 14.1.4.4

$\sqrt{2} - 1$ を $1$ で割ります。

$- (\sqrt{2} - 1)$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2} - - 1$

ステップ 14.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sqrt{2} + 1$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{2} + 1$

10進法形式：

$- 0.41421356 \dots$

三角関数 例

三角関数例