三角関数例

$\sin^{2} (75)$

ステップ 1

$\sin (75)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

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ステップ 1.1

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sin^{2} (30 + 45)$

ステップ 1.2

角の和の公式を当てはめます。

${(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

ステップ 1.3

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

${(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

ステップ 1.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))}^{2}$

ステップ 1.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))}^{2}$

ステップ 1.6

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 1.7

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 1.7.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

ステップ 1.7.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

ステップ 1.7.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}$

ステップ 1.7.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})}^{2}$

ステップ 1.7.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})}^{2}$

ステップ 1.7.2

公分母の分子をまとめます。

${(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})}^{2}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ に当てはめます。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

ステップ 2.3

${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ を $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ に書き換えます。

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.6

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.10

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.11

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.11.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.11.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.12

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

ステップ 4.1.13

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

ステップ 4.1.14

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

ステップ 4.1.15

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

ステップ 4.1.16

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

ステップ 4.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.3

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 5

$8 + 4 \sqrt{3}$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

ステップ 5.2

$4$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

ステップ 5.3

$4$ を $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

ステップ 5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

10進法形式：

$0.93301270 \dots$

三角関数 例

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