三角関数例

$\arctan (\tan (- \frac{3 π}{8}))$

ステップ 1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を加えます。

$\arctan (\tan (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 2

$\tan (\frac{13 π}{8})$ の厳密値は $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

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ステップ 2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{13 π}{8}$ を書き直します。

$\arctan (\tan (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

ステップ 2.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.3

正切が第四象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.4

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.4.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}})$

ステップ 2.4.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})$

ステップ 2.4.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})$

ステップ 2.4.9

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 2.4.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 2.4.11

公分母の分子をまとめます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})$

ステップ 2.4.12

分子に分母の逆数を掛けます。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

ステップ 2.4.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.13.1

共通因数を約分します。

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})$

ステップ 2.4.13.2

式を書き換えます。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})$

ステップ 2.4.14

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})$

ステップ 2.4.15

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})$

ステップ 2.4.16

FOIL法を使って分母を展開します。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})$

ステップ 2.4.17

簡約します。

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.18

分配則を当てはめます。

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.19

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.19.1

共通因数を約分します。

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.19.2

式を書き換えます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.20

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})$

ステップ 2.4.21

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.21.1

分配則を当てはめます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.21.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

ステップ 2.4.21.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})$

ステップ 2.4.21.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.21.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})$

ステップ 2.4.21.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})$

ステップ 2.4.21.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})$

ステップ 2.4.21.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.21.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})$

ステップ 2.4.21.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})$

ステップ 2.4.21.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})$

ステップ 2.4.21.5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.21.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})$

ステップ 2.4.21.5.4.2

共通因数を約分します。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})$

ステップ 2.4.21.5.4.3

式を書き換えます。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})$

ステップ 2.4.21.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\arctan (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})$

ステップ 2.4.22

$2$ と $1$ をたし算します。

$\arctan (- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})$

ステップ 2.4.23

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\arctan (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$

10進法形式：

$- 1.17809724 \dots$

三角関数 例

三角関数例