三角関数例

$2 \cos^{2} (15) - 1$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (15)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$15$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

ステップ 1.1.2

否定を分割します。

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

ステップ 1.1.3

角の差の公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

ステップ 1.1.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

ステップ 1.1.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

ステップ 1.1.6

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

ステップ 1.1.7

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.8.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

ステップ 1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

ステップ 1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ に当てはめます。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

ステップ 1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

ステップ 1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

ステップ 1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

ステップ 1.5

${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ を $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ に書き換えます。

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

ステップ 1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ を展開します。

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ステップ 1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

ステップ 1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

ステップ 1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.2

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.6

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.7.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.10

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.11

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.7.1.11.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.11.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.12

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.13

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.14

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.15

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

ステップ 1.7.1.16

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

ステップ 1.7.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

ステップ 1.7.3

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

ステップ 1.8

$8 + 4 \sqrt{3}$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

ステップ 1.8.2

$4$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

ステップ 1.8.3

$4$ を $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

ステップ 1.8.4

共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

ステップ 1.8.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

ステップ 1.8.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3

分数をまとめます。

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ステップ 3.1

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

ステップ 4.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.3

$0$ と $\sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

10進法形式：

$0.86602540 \dots$

三角関数 例

三角関数例