三角関数例

$\cos (\frac{7 π}{12}) + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{12})$

ステップ 1.2

$\cos (\frac{π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 1.2.1

$\frac{π}{12}$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

ステップ 1.2.2

角の差の公式 $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.2.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.2.4

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.2.5

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})$

ステップ 1.2.6

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7.1.1.3

$2$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.7.1.2

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

ステップ 1.2.7.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot 2 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5

$- 1$ を $- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 6

$- 1$ を $\sqrt{6}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 7

$- 1$ を $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}) - 1 (- \sqrt{6})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 8

$- 1$ を $\sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 9

$- 1$ を $- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6}) - 1 (- \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

ステップ 10

式を簡約します。

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ステップ 10.1

$- (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ を $- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

ステップ 10.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

10進法形式：

$0.70710678 \dots$

三角関数 例

三角関数例