三角関数例

$\cos (2 \arctan (x))$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\cos^{2} (\arctan (x)) - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arctan (x))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

${(\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.3.6.5

簡約します。

${(\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.4

積の法則を $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.5.5

簡約します。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.6

$1 + x^{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.2.1

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \sin^{2} (\arctan (x))$

ステップ 2.1.7

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arctan (x))$ は $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.8

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.9

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}})}^{2}$

ステップ 2.1.9.6.5

簡約します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - {(\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.10

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

積の法則を $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{{(x \sqrt{1 + x^{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.10.2

積の法則を $x \sqrt{1 + x^{2}}$ に当てはめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.11.5

簡約します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.12

$1 + x^{2}$ と ${(1 + x^{2})}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1

$1 + x^{2}$ を $x^{2} (1 + x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.2.1

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

ステップ 2.1.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{(1 + x^{2}) x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x^{2})}$

ステップ 2.1.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$

三角関数 例

三角関数例