三角関数例

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\cos (112.5)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $112.5$ を書き直します。

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.2.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.2.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.4

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5

${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 - \sqrt{2}$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ を ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.5.5

簡約します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

ステップ 1.7

$\sin (112.5)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.7.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $112.5$ を書き直します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

ステップ 1.7.2

制限半角の公式を当てはめます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

ステップ 1.7.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.7

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

ステップ 1.7.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

ステップ 1.7.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

ステップ 1.7.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

ステップ 1.8

積の法則を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.9

${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 + \sqrt{2}$ に書き換えます。

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ステップ 1.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 1.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 1.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 1.9.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

ステップ 1.9.5

簡約します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

ステップ 1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

ステップ 3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.2

$0$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.3

$- \sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

ステップ 4.4

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2$ を $- 2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

ステップ 4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

ステップ 4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

10進法形式：

$- 0.70710678 \dots$

三角関数 例

三角関数例