三角関数例

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

ステップ 1

角の和の公式を当てはめます。

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.2

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.6

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (2 x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (2 x))$ は $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ です。

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

ステップ 2.1.10

交点 $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ 、 $(2 x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (2 x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (2 x))$ は $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ です。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

ステップ 2.1.11

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

ステップ 2.1.12

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

ステップ 2.1.13

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

ステップ 2.1.14

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.14.1

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を $1$ 乗します。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

ステップ 2.1.14.2

$\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を $1$ 乗します。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

ステップ 2.1.14.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

ステップ 2.1.14.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

ステップ 2.1.15

${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ を $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.15.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ を ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.1.15.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.1.15.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.15.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.15.4.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.1.15.4.2

式を書き換えます。

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

ステップ 2.1.15.5

簡約します。

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

ステップ 2.1.16

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ を展開します。

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ステップ 2.1.16.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

ステップ 2.1.16.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

ステップ 2.1.16.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

ステップ 2.1.17

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.17.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

ステップ 2.1.17.1.2

$- 2 x$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

ステップ 2.1.17.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

ステップ 2.1.17.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

ステップ 2.1.17.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.17.1.5.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

ステップ 2.1.17.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

ステップ 2.1.17.1.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

ステップ 2.1.17.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

ステップ 2.1.17.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

ステップ 2.2

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.1

$4 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$0 + 1$

ステップ 2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

三角関数 例

三角関数例