三角関数例

$\sin (67.5 °) \cos (22.5 °)$

ステップ 1

$\sin (67.5 °)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $67.5 °$ を書き直します。

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5 °)$

ステップ 1.2

制限半角の公式を当てはめます。

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5 °)$

ステップ 1.3

正弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.7

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.9

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5 °)$

ステップ 1.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5 °)$

ステップ 2

$\cos (22.5 °)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $22.5 °$ を書き直します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

ステップ 2.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

ステップ 2.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

ステップ 2.4

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

ステップ 2.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 2.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

ステップ 2.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.5.6

分母を簡約します。

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ステップ 2.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

ステップ 3

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3

$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

ステップ 4

${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 + \sqrt{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

ステップ 4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

ステップ 4.5

簡約します。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

10進法形式：

$0.85355339 \dots$

三角関数 例

三角関数例